DSE M2 矩陣：乘法、逆矩陣、三元方程與 det = 0 原創例題
DSE M2 矩陣原創例題：維度與乘法、二階三階逆矩陣、行列式、高斯消元、克萊姆法則及 det 等於零的解題判斷。
矩陣解方程先查維度，再查是否可逆。 AX = b 能寫成 X = A⁻¹b，前提是 A 的逆矩陣存在。det(A) = 0 時，不能硬套除以行列式的公式，也不能立即斷言方程一定無解。
本課用二階例子建立方法，再延伸到三階與參數題。以下全部原創，不是歷屆試題；課程核對參考教育局 M2 課程闡釋的矩陣及線性方程組單元。
維度先行：m × n 不是兩個可隨便交換的數
m × n 矩陣有 m 行、n 列。加減要求同維度；乘法 AB 要求 A 的列數等於 B 的行數，結果行數取 A、列數取 B。
| 運算 | 是否可做？ | 結果維度 |
|---|---|---|
| 2 × 3 乘 3 × 1 | 可以 | 2 × 1 |
| 3 × 1 乘 2 × 3 | 不可以 | 中間的 1 與 2 不相同 |
| 2 × 2 加 2 × 2 | 可以 | 2 × 2 |
| 2 × 2 加 2 × 3 | 不可以 | 維度不同 |
以下用「同一行內以空格分元素、分號分開兩行」的寫法，例如 [2 1; 1 1] 代表第一行 2、1，第二行 1、1。
乘法是行乘列，AB 通常不等於 BA
原創例：A = [1 2; 0 1]，B = [1 0; 3 1]。
AB 的第一行第一列 = 1 × 1 + 2 × 3 = 7；完整結果是 [7 2; 3 1]。BA 則為 [1 2; 3 7]，兩者不同。
即使兩個乘法都能做，也不能交換次序。逆矩陣乘積的順序亦須倒轉：(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，前提是兩者可逆。不能照數字分數的習慣寫成 A⁻¹B⁻¹。
二階逆矩陣：先算 det，再交換及變號
對 A = [a b; c d]，det(A) = ad − bc。若 ad − bc ≠ 0：
A⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d −b; −c a]。
即主對角 a、d 交換位置，另外兩項 b、c 變號，最後全矩陣乘同一個分數。不要只把其中一項除以行列式。
原創例 A = [2 1; 1 1]，det(A) = 2 × 1 − 1 × 1 = 1，所以 A⁻¹ = [1 −1; −1 2]。乘回 A，結果應是單位矩陣 I = [1 0; 0 1]。
原創例題一：把方程轉成 AX = b
求解 2x + y = 7，x + y = 5。
係數矩陣 A = [2 1; 1 1]，未知數列向量 X = [x; y]，常數列向量 b = [7; 5]。所以 AX = b。
因 A 可逆，在方程左邊同乘 A⁻¹：X = A⁻¹b。計得 x = 1 × 7 − 1 × 5 = 2；y = −1 × 7 + 2 × 5 = 3。
代回：2 × 2 + 3 = 7，2 + 3 = 5。檢查只需數秒，卻能抓出抄錯常數或變號問題。
注意是左乘 A⁻¹。X 是列向量，不能把它寫成 bA⁻¹；維度也不容許如此相乘。
原創例題二：三階逆矩陣，不必一開始就堆滿公式
令 A 的三行分別為 [1 1 0]、[0 1 1]、[0 0 1]。方程組是 x + y = 4，y + z = 5，z = 2。
先倒推：z = 2，y = 3，x = 1。再把一般右側寫成 b₁、b₂、b₃，便得到 z = b₃、y = b₂ − b₃、x = b₁ − b₂ + b₃。
因此 A⁻¹ 的三行為：
| 行 | 第一列 | 第二列 | 第三列 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | −1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | −1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 |
把它乘 [4; 5; 2]，得到 [1; 3; 2]。這是本例特殊結構帶來的簡便方法；一般三階矩陣仍可按課程使用消元等方法，不能把本例逆矩陣形狀當成通用公式。
三階行列式：沿第一行展開，符號是＋、−、＋
若三行為 [a b c]、[d e f]、[g h i]，則 det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)。每個括號都是刪去對應行、列後的二階行列式；第二項前面有負號。
例如三行為 [1 2 0]、[0 1 3]、[2 0 1]，行列式為 1 × (1 − 0) − 2 × (0 − 6) + 0 = 13，所以可逆。反過來，行列式非零只保證逆矩陣存在，沒有直接給你逆矩陣內每個元素。
高斯消元：用相同行變換處理整行
一般可把 AX = b 寫成增廣矩陣 [A | b]，透過交換兩行、一行乘非零常數、把一行的倍數加到另一行來簡化。每次操作必須包含常數列，不能只改係數。
以上例而言，先用第三行 z = 2 消去第二行的 z，再用已得到的 y 消去第一行的 y，就是回代的消元過程。若求逆矩陣，則由 [A | I] 開始，把左側化成 I，右側便是 A⁻¹；前提是 A 可逆。
承接三元例題，把右邊依次設為 [4; 5; 2]。完整行操作如下：
| 階段 | 第一行 | 第二行 | 第三行 |
|---|---|---|---|
| 起點 | [1 1 0 | 4] | [0 1 1 | 5] | [0 0 1 | 2] |
| R₂ ← R₂ − R₃ | [1 1 0 | 4] | [0 1 0 | 3] | [0 0 1 | 2] |
| R₁ ← R₁ − R₂ | [1 0 0 | 1] | [0 1 0 | 3] | [0 0 1 | 2] |
最後直接讀出 x = 1、y = 3、z = 2。每做一步記下行操作，能讓人看出推導，也便於檢查；乘一行的常數不能是零，否則會丟掉原本的限制。
克萊姆法則 Cramer's Rule：替換的是哪一列？
對可逆係數矩陣 A，令 Aₓ 為把 x 的係數列換成常數列後的矩陣，則 x = det(Aₓ)/det(A)；y、z 同理。先確認分母非零，再按未知數替換相應的列，不能換成行。
用二元例 2x + y = 7、x + y = 5：det(A) = 1，Aₓ = [7 1; 5 1]，所以 x = (7 − 5)/1 = 2；Aᵧ = [2 7; 1 5]，所以 y = (10 − 7)/1 = 3。結果與逆矩陣法一致。det(A) = 0 時，這個除法不能使用，改用消元檢查解的性質。
原創參數題：det = 0 可能無解，也可能無限多解
考慮 x + y = 3，2x + ky = 6。係數矩陣為 [1 1; 2 k]，行列式是 k − 2。
若 k ≠ 2，第二式減兩倍第一式，得 (k − 2)y = 0，所以 y = 0、x = 3，有唯一解。
若 k = 2，第二式只是第一式的兩倍，兩式代表同一限制。所有滿足 x + y = 3 的組合都可行，有無限多解。
若把第二式常數改為 7，且 k = 2，則兩式相減得到 0 = 1，出現矛盾，因此無解。
| 情況 | 解的數量 | 理由 |
|---|---|---|
| det ≠ 0 | 唯一解 | 係數矩陣可逆 |
| det = 0，消元後矛盾 | 無解 | 出現 0 = 非零常數 |
| det = 0，條件相依且有自由變量 | 無限多解 | 沒有足夠獨立限制 |
對齊次方程 AX = 0，零向量永遠是解；若方陣 A 奇異，還可有非零解。不能把「不可逆」說成「齊次方程無解」。
常見失分位：從題目指令倒推方法
若題目要求用所給矩陣或「hence」求解，應把前一部分結果用上，不能只交另一條完全跳過要求的答案。若只是問解的性質，先看行列式及消元，未必要算完整逆矩陣。
每個矩陣等號都應維度一致；不要把單位矩陣 I 寫成純數字 1，也不要把零矩陣與一個零元素混淆。矩陣沒有一般數字式的「除法」，要說明在哪一邊乘哪個逆矩陣。
自己試做
解 3x + y = 10，x + y = 6，並寫出係數矩陣的逆矩陣。
答案： A = [3 1; 1 1]，det(A) = 2；A⁻¹ = 1/2 × [1 −1; −1 3]。相乘得 x = 2、y = 4，代回兩式均成立。
常見問題
det = 0 就是無解嗎？
不是。它只代表這個方陣不可逆；要再看增廣方程是否矛盾或有自由變量。
AB = AC，可以直接消去 A 嗎？
若 A 可逆，可以左乘 A⁻¹ 得 B = C；若 A 不可逆，不能一般地這樣消去。
計算機可以代替全部步驟嗎？
工具可幫助核對，但應按題目要求交代設矩陣、行列式、運算或消元。尤其參數題，要說清適用條件。
官方資料與延伸閱讀
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