DSE M1 常態分布：Z-score、左右尾、反求分位數與平均數例題

常態分布題先畫出要找的面積，再標準化。 查到 0.8413，未必就是題目答案：若題目要右尾，要用 1 減去這個左尾值；若題目問一個分數門檻，就要反過來由概率找 z。

本課全部情境及題目原創，概率近似值取至四位小數。範圍參照教育局 M1 課程闡釋的常態分布、標準化及抽樣分布單元，考試安排另以所屬年度官方文件為準。

N(μ, σ²) 的第二個數字是甚麼？

若 X 服從 N(70, 8²)，平均數 μ = 70，標準差 σ = 8，方差 σ² = 64。標準化公式是：

Z = (X − μ) ÷ σ。

分母放標準差，不是方差。X = 78 時，z = (78 − 70) ÷ 8 = 1，意思是比平均數高一個標準差。

原數值	z 值	在分布中的位置
62	−1	平均數左邊一個標準差
70	0	中心
78	1	平均數右邊一個標準差
82	1.5	平均數右邊一點五個標準差

常態分布曲線下總面積為 1，且左右對稱。連續分布中單一點的概率為零，所以 P(X > 78) 與 P(X ≥ 78) 相同；這不能直接套用到離散分布。

查表前，先看表提供哪種面積

有些表列 Φ(z) = P(Z ≤ z)，有些列由 0 至 z 的面積。相同 z = 1，前者約是 0.8413，後者約是 0.3413。先讀表頭或說明，不能只背一組數字。

若試卷所附表給的是 0 至 z 面積，z = 1 的右尾便是 0.5 − 0.3413 = 0.1587，左尾則是 0.5 + 0.3413 = 0.8413。下文用 Φ 統一表達概率；用這類表查到數字後，須先加減 0.5 才能轉成相應左尾，不能把表值直接當 Φ。

以下統一用累積左尾 Φ(z)。因此 Φ(1) = 0.8413，Φ(1.5) = 0.9332；利用對稱，Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 0.1587。

題目要甚麼	累積左尾寫法
P(Z < a)	Φ(a)
P(Z > a)	1 − Φ(a)
P(a < Z < b)	Φ(b) − Φ(a)
P(Z < −a)，a > 0	1 − Φ(a)

如果用計算機，仍先寫概率式和標準化步驟。按鈕或語法因工具而異，不能靠螢幕一個答案代替推理。

原創例題一：右尾與區間概率

假設某原創測驗模型 X ~ N(70, 8²)，求 P(X > 78)。標準化得到 P(Z > 1)，所以答案是 1 − 0.8413 = 0.1587，約 15.87%。

合理性檢查：78 高於平均數，右尾應少於一半。若答案是 84.13%，即使計算沒有按錯，也已經取錯面積。

再求 P(62 < X < 82)。上下限分別為 −1 和 1.5：

P(−1 < Z < 1.5) = 0.9332 − 0.1587 = 0.7745。

不要把兩個左尾直接相加，也不要把不對稱區間當成「平均數兩邊各一樣」。

原創例題二：最高 10% 的門檻

仍用同一模型，若要找最高 10% 的最低分數 t，先寫 P(X > t) = 0.10。換成左尾便是 P(X ≤ t) = 0.90，對應 z 約 1.2816。

因此 t = μ + zσ = 70 + 1.2816 × 8 = 80.2528，約 80.25。

若真實分數只取整數，如何訂門檻要看題目對取整及評分制度的要求；這個連續模型不能自行決定應收 80 分還是 81 分的學生。也不能把「第 90 百分位」誤讀成 90 分。

問法	先轉成左尾概率	z 符號
最低 10% 分界	0.10	負
最高 10% 分界	0.90	正
中位數	0.50	0

原創例題三：用兩個百分位找 μ 和 σ

已知另一個常態變量 Y 滿足 P(Y < 60) = 0.1587、P(Y < 84) = 0.9332。用前面的近似表值，對應 z 分別為 −1 和 1.5。

所以 60 = μ − σ，84 = μ + 1.5σ。兩式相減：24 = 2.5σ，得到 σ = 9.6，再代回得 μ = 69.6。

最後核對：(60 − 69.6) ÷ 9.6 = −1；(84 − 69.6) ÷ 9.6 = 1.5。若算到負標準差，要檢查尾部方向、z 符號或移項，不能接受負數答案。

原創例題四：中間 95% 的對稱範圍

若 X ~ N(70, 8²)，求 k 使 P(|X − 70| < k) = 0.95。中間 95% 以外有 5%，左右兩尾各 2.5%；上限左尾為 0.975，對應 z 約 1.96。

因此 k = 1.96 × 8 = 15.68，範圍約為 54.32 至 85.68。不要用 0.95 查 z 後便稱那是中央 95%，因為 0.95 的單邊累積面積沒有平均分掉兩尾。

個別 X 與樣本平均：標準差不同

若 X₁ 至 X₁₆ 是相互獨立、同服從 N(70, 8²) 的樣本，樣本平均 X̄ 服從 N(70, 8²/16)，標準差是 8/√16 = 2。

求 P(X̄ > 74)：z = (74 − 70) ÷ 2 = 2，右尾約 0.0228。若仍除以 8，便把「一人分數」誤當「十六人平均」。

這裏母體本來就是常態，所以樣本平均的常態性是模型內的結果。若母體分布不同，不能只因看見平均數就宣稱完全相同，須看相應抽樣假設與近似條件。

五分鐘自查流程

1. 寫出變量及單位，辨認 X 還是 X̄。
2. 標明 μ、σ，確認題目給的是方差還是標準差。
3. 在草圖標中心與門檻，塗出要找的左尾、右尾或區間。
4. 先寫概率式，再標準化及查表。
5. 檢查答案在 0 至 1 之間，方向和大小是否合理。

自己試做

W ~ N(50, 6²)。求 P(W > 59)，並找最低 10% 的分界。

答案： 59 對應 z = 1.5，所以右尾為 1 − 0.9332 = 0.0668。最低 10% 對應 z 約 −1.2816，分界為 50 − 1.2816 × 6 = 42.3104，約 42.31。

常見問題

z 是負數，概率是否也負？

不是。z 只是相對平均數的位置，概率仍是非負面積。

為甚麼不能把所有題目都用 1 − 表值？

因為題目可能已要左尾，表也可能給不同面積。先讀題與表頭。

68–95–99.7 法則可以代替所有查表嗎？

它適合合理性檢查，不能代替非整數 z 或要求較精確的計算。

官方資料與延伸閱讀

• 教育局：M1 課程闡釋，常態分布及抽樣分布
• 教育局：高中數學教學資源
• M1、M2 與商科選科比較