DSE M2 積分攻略：代換法、分部積分與定積分原創例題

選方法的順序：先整理代數式，看看能否直接積分；若出現內層函數及其導數，考慮代換；若是兩種函數的乘積，而且其中一項微分後更簡單，考慮分部積分。完成後用微分驗算。

本文例題與解說為原創教學內容，聚焦 M2 積分方法選擇，並非整個 M2 課程總覽。課程範圍可查教育局 M2 課程闡釋：學習單位 9 至 11，考試安排另按應考年份評核大綱核對。

一、先用這張表判斷

看到的結構	優先嘗試	為甚麼
多項式、可分拆分式	整理後直接積分	不必用複雜方法
f(g(x)) 旁有 g′(x)	代換 u = g(x)	把合成函數變成單一變數
x 乘指數／三角函數	分部積分	x 微分後變簡單
ln x	視作 ln x × 1，分部積分	ln x 的導數較易處理
sin²x、cos²x	先用三角恆等式	降冪後可直接積分

這些是判斷提示，不是互斥規則。同一題可能有多種正確方法；題目若指定代換或要求利用前一小題，應配合該要求。

二、直接積分：先整理，少做多餘步驟

例 1：∫(3x² − 4x + 5) dx

逐項積分：

x³ − 2x² + 5x + C。

用微分檢查：3x² − 4x + 5，正好回到原式。

例 2：∫(x² + 1)／x dx，x ≠ 0

先拆成 x + 1／x，再積分：

x²／2 + ln|x| + C。

這裏 1／x 不可套用 n ≠ −1 的冪次公式。答案在不跨越零的適用區間理解；若題目已指定 x > 0，才可直接寫 ln x。

三、代換法：把 dx 一起轉換

基本想法來自鏈式法則：若 u = g(x)，就有 du = g′(x) dx。不能只把括號改成 u，卻把其餘 x 或 dx 原封不動留下。

例 3：∫2x(x² + 3)⁴ dx

令 u = x² + 3，則 du = 2x dx。

原式 = ∫u⁴ du = u⁵／5 + C。

代回：(x² + 3)⁵／5 + C。

驗算時，外層微分得 (x²+3)⁴，再乘內層導數 2x。忘記內層導數，會錯判答案是否正確。

例 4：∫x／(x² + 4) dx

令 u = x² + 4，du = 2x dx，所以 x dx = du／2。

原式 = ½∫1／u du = ½ln|u| + C。

因 x² + 4 對所有實數均為正，答案可寫：

½ln(x² + 4) + C。

關鍵不是看到分母就必定代換，而是分子的 x 與分母導數 2x 只差一個常數。

四、定積分代換：上下限也要改

例 5：求 ∫ 從 0 至 1 的 2x√(x² + 3) dx

令 u = x² + 3，du = 2x dx。

當 x = 0，u = 3；當 x = 1，u = 4。

因此原式 = ∫ 從 3 至 4 的 u^(1／2) du
= [(2／3)u^(3／2)] 從 3 至 4
= (2／3)(8 − 3√3)。

有兩條一致的方法：全程使用 u 和新上下限；或求原函數後先代回 x，再使用舊上下限。不能把 u 的原函數直接代入 x 的 0、1。

定積分答案是數值，不需在最終結果附上 +C。

五、分部積分：先選 u 與 dv

公式為：

∫u dv = uv − ∫v du。

u 通常選微分後變簡單的一項；dv 必須是你能求出積分的部分。不要把 u 與 v 混成「兩個隨便選的原函數」。

例 6：∫x e^(2x) dx

取 u = x，dv = e^(2x) dx。

則 du = dx，v = ½e^(2x)。

所以原式 = ½x e^(2x) − ½∫e^(2x) dx
= ½x e^(2x) − ¼e^(2x) + C。

驗算： 微分第一項得到 ½e^(2x) + x e^(2x)； 微分第二項得到 −½e^(2x)； 相加正好是 x e^(2x)。

最常見失誤是把 e^(2x) 的積分寫成 e^(2x)，漏掉 ½。

例 7：∫ln x dx，x > 0

把被積函數視作 ln x × 1。

取 u = ln x，dv = dx，則 du = dx／x，v = x。

原式 = x ln x − ∫1 dx
= x ln x − x + C。

若反過來選 u = 1、dv = ln x dx，就需要先知道正在求的積分，沒有真正簡化問題。

例 8：∫x² sin x dx

第一次取 u = x²、dv = sin x dx，得 du = 2x dx、v = −cos x：

原式 = −x²cos x + 2∫x cos x dx。

剩下積分再取 u = x、dv = cos x dx，得：

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx
= x sin x + cos x。

所以完整答案為：

−x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C。

此處兩次分部後，多項式程度逐步降低；如果每次選法令多項式程度更高，就要停下來重新判斷。

六、三角積分：先降冪

例 9：∫sin²x dx

利用 sin²x = (1 − cos 2x)／2：

原式 = ½∫1 dx − ½∫cos 2x dx
= x／2 − sin 2x／4 + C。

不能把 sin²x 當成 x²，用「加一次方再除」的方式寫成 sin³x／3。sin x 的導數是 cos x，鏈式結構必須考慮。

本篇所有涉及三角函數的微積分均使用弧度。

七、定積分與面積不要混為一談

∫ 從 −1 至 1 的 x dx = 0，因正負部分抵銷。

但 y = x 與 x 軸在此區間圍成的總面積是：

∫ 從 −1 至 0 的 (−x) dx ＋ ∫ 從 0 至 1 的 x dx = 1。

若題目問面積，先找與 x 軸交點，再按正負分段；不要看到定積分結果為負就只在最後隨意取絕對值，因為跨越多個正負區間時可能仍錯。

八、常見錯誤與修正

錯誤	檢查方法
不定積分漏 +C	看題目是否要求原函數族
代換後同時混用 x 與 u	每一項及微分符號一併轉換
分部公式符號錯	由 d(uv) = u dv + v du 回想
漏常數因子	微分答案檢查內層導數
上下限混用	每次代換列出 x→u 對照
ln 漏絕對值	檢查函數正負及題目定義域
面積互相抵銷	在零點分段

微分驗算能檢查原函數，卻不能單獨證明定積分上下限和面積分段都正確；這兩部分要另外核對。

自測：先寫選法，再計算

A. ∫6x(3x²+2)³ dx
令 u = 3x²+2，du = 6x dx。答案：(3x²+2)⁴／4 + C。

B. ∫x cos 2x dx
取 u=x，dv=cos 2x dx。答案：x sin 2x／2 + cos 2x／4 + C。

C. ∫ 從 0 至 1 的 x e^x dx
分部得原函數 e^x(x−1)。代入上下限：0 − (−1) = 1。

D. ∫cos²x dx
先用 cos²x=(1+cos2x)／2。答案：x／2 + sin2x／4 + C。

常見問題

LIATE 是否一定能選對 u？

它可作部分題型的記憶提示，但不是定理。仍要看另一部分能否積分，以及新積分有沒有變簡單。

同一題用不同方法，答案形式不同是否錯？

把兩個答案微分；若都回到被積函數，且在相同適用區間只差常數，便可能同樣正確。

可以只靠計算機驗證嗎？

數值檢查能發現部分錯誤，但不代替題目要求的推導。先保留清楚方法與步驟，再使用允許的工具核對。

延伸閱讀

• Economics、BAFS、M1／M2 選科比較