DSE M1 二項分布：至少與至多、補集、反求次數及條件概率原創例題

二項分布適合計算固定次數、互相獨立且成功概率相同的試驗中，成功出現多少次。 開始按公式前，先定義成功和隨機變量，再把「至少」「至多」「多於」翻譯成包含正確端點的不等式。很多錯誤出在模型與語言，而非計數機。

本文於 2026 年 10 月 28 日 核對教育局 M1 課程闡釋，第13及15學習單元。全部題目及數字為原創教學材料；重點是精確二項概率，沒有把其他考試的工具功能或近似規則當成 DSE 統一要求。

四個條件：先問能否用，再問怎樣計

條件	要問甚麼	反例
次數固定	是否事先決定做n次？	一直投擲直到首次成功，次數不固定
每次分為兩類	能否按本題定義分成成功與不成功？	若同時計不同類別的數量，須先重新定義事件
互相獨立	前一次結果會否改變下一次分布？	小袋中不放回抽球通常不獨立
成功率相同	每次成功概率都是p嗎？	訓練後命中率逐次提高，不能直接用同一p

「成功」只指要數的事件，不一定是好事；數次品時，抽到次品就是成功。擲骰有六個原始結果，仍可把「出現6」定為成功，其餘為不成功，形成兩類。至於真實運動員出手是否獨立，要視題目假設或模型合理性，不能因為每球都有命中與不命中便自動成立。

記號與公式如何讀？

令 X 為 n 次試驗的成功次數，寫作 X ~ B(n,p)。X 只可取 0、1、2、…、n。恰好 k 次成功的概率：

P(X=k)＝C(n,k) p^k (1−p)^(n−k)。

C(n,k) 是從 n 個位置選 k 個放成功的組合數。它不是額外的成功率，而是計有多少種排列位置；每一個指定成功失敗序列的概率是 p^k(1−p)^(n−k)。若 k 不在0至n的整數範圍內，這個事件概率為零。

例如四次試驗恰好兩次成功，可以是 SSFF、SFSF 等，共 C(4,2)=6 種。漏掉組合數，就只計了一種位置安排。

原創例題一：四次試驗，每次成功率0.2

假設四次試驗互相獨立，每次成功率0.2。令 X 為成功次數，則 X ~ B(4,0.2)。

k	P(X=k)	計算說明
0	0.4096	0.8⁴
1	0.4096	4 × 0.2 × 0.8³
2	0.1536	6 × 0.2² × 0.8²
3	0.0256	4 × 0.2³ × 0.8
4	0.0016	0.2⁴

五個概率加起來等於1，是基本驗算。恰好兩次成功為 0.1536；至少一次成功為 1−P(X=0)=1−0.4096=0.5904。後者用補集只須計一項，比逐項加一至四次更簡潔。

至少兩次則是 P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=0.1808，不能只用1−P(X=2)。補集要把不想要的全部情況排除。

「至少、至多、多於、少於」端點表

題目用語	事件	若F(k)=P(X≤k)，如何表示？
恰好3次	X=3	F(3)−F(2)
至多3次	X≤3	F(3)
少於3次	X<3，即X≤2	F(2)
至少3次	X≥3	1−F(2)
多於3次	X>3，即X≥4	1−F(3)
2至4次，包括兩端	2≤X≤4	F(4)−F(1)

最容易失手的是把 P(X≥3) 寫成1−F(3)，這會漏掉恰好3次。離散分布計區間時，下限要向前退一個整數再扣；與連續常態分布的端點處理不同。

如計數機提供個別概率或累積概率功能，先核對畫面定義是等於還是小於等於。沒有相關功能也可用組合數逐項求和。考試只應使用所屬年度允許的計數機及功能，本文不提供跨型號通用按鍵承諾。

期望、方差與標準差不要混

若 X ~ B(n,p)，則 E(X)=np，Var(X)=np(1−p)，SD(X)=√[np(1−p)]。

在四次試驗例子中，期望為 0.8，方差 0.64，標準差 0.8。期望可以不是整數，因為它反映大量重複四次試驗組別的平均成功次數，不是說某次會真的成功0.8次。這裏期望剛好等於標準差只是數字巧合，不是一般規則。

若每次成功得 $10，另付固定參加費 $3，令收益 Y=10X−3，則 E(Y)=10×0.8−3＝$5。方差 Var(Y)=10²×0.64＝64，標準差為 $8；固定減去3不改變波動，乘10則令方差乘100。

原創例題二：反求最少試驗次數

每次獨立成功率仍是0.2，希望至少一次成功的概率達0.95。令 X ~ B(n,0.2)，要求：

1−0.8^n≥0.95，所以0.8^n≤0.05，取對數得 n≥log(0.05) ÷ log(0.8)≈13.4251。注意log(0.8)是負數，移除它作除法時，不等號方向要反轉。

n是整數，候選最少值為14，還須檢查相鄰值：n=13時概率約 0.945024，未達0.95；n=14時約 0.956020，達標。所以答案是 14次。不能把13.4251四捨五入成13，也不能只給對數算式而沒有交代最少整數。

原創例題三：已知至少一次成功，恰好兩次的概率

回到 X ~ B(4,0.2)。已知 X≥1，問 X=2 的概率，須改用條件概率：

P(X=2 | X≥1)＝P(X=2) ÷ P(X≥1)＝0.1536 ÷ 0.5904≈0.260163。

分母排除了零次成功的組別，不能仍答0.1536。也不能把剩下四個結果當成等可能，每個成功次數的概率原本就不同。一般公式是P(A|B)=P(A與B同時發生)÷P(B)，且P(B)>0；本例因X=2必定包含在X≥1內，交集才可簡化為X=2。條件事件若不是包含關係，分子要先另計交集。

甚麼時候不宜套二項分布？

袋內2紅3藍，不放回抽兩球。第一次抽紅概率2/5，但抽紅後第二次紅為1/4；若第一次藍，第二次紅為2/4。成功率會隨先前結果改變，不能當作 B(2,0.4)。兩次全紅的精確概率是2/5×1/4＝0.1，不是0.4²＝0.16。

某些大母體抽樣可討論近似獨立，但必須交代條件，不能把所有不放回問題都當精確二項模型。「數到第一次成功」也不是固定n的題型，應先辨認問題結構。

二項與常態分布之間的近似屬另一個處理層次。本課以精確模型為主；如果題目使用常態模型，需另查標準化及適用要求，參考常態分布與 Z-score，不要直接混用兩種事件端點。

自測與答案

假設 X ~ B(5,0.3)：

1. 求P(X=2)。
2. 求P(X≥1)及P(X>1)。
3. 求期望、方差。
4. 已知至少一次成功，求恰好一次成功的概率。

答案一：C(5,2)×0.3²×0.7³＝0.3087。答案二：1−0.7⁵＝0.83193；再減P(X=1)=5×0.3×0.7⁴＝0.36015，得 0.47178。答案三：E(X)=1.5，Var(X)=1.05。答案四：0.36015 ÷ 0.83193≈0.432909。

常見問題

想比較 M1、M2 與商科的學習方向，可參考商科與數學延伸選科指南。

每次都有兩個結果，是否便可用二項分布？

還要檢查固定次數、獨立和相同成功率；只滿足兩類結果並不足夠。

概率答案應保留幾多位？

按題目要求。中間步驟保留精度，最後才四捨五入；同時先寫事件與公式，避免只留下無法核查的計數機數字。

至少一次為何不是n乘p？

np是成功次數的期望，不是至少一次的概率；np可以超過1，而概率不可以。